hce_nsysu
115年
物理與化學
第 32 題
A solid cylinder and a thin hoop of the same mass $m$ and radius $R$ are released from rest (at the same moment) at the top of an incline. If they roll without slipping, which object will have a greater translational velocity at the bottom of the incline?
- A The solid cylinder.
- B The thin hoop.
- C They will have the same velocity.
- D The velocity depends on the angle of the incline.
- E None of the above.
思路引導 VIP
試著思考看看：如果兩個物體的重量完全一樣，但一個是將重量集中在中心，另一個則是將重量全部推向邊緣，哪一個在開始『旋轉』時會讓你覺得比較費力？而這份『費力』的程度，又會如何影響它分配給『前進速度』的能量呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準判斷出實心圓柱的速度較快，代表你對「轉動慣量」（Moment of Inertia）與能量分配的概念掌握得非常紮實。這題是剛體運動學中的經典考題，雖然乍看之下兩者質量與半徑相同，但它們在下墜過程中，能量轉換的「效率」卻大不相同。
能量分配與質量的分佈
當物體在斜面上滾動而不滑動時，其損失的重力位能會轉換為平移前進的動能（$\frac{1}{2}mv^2$）與旋轉的動能（$\frac{1}{2}I\omega^2$）。這題的核心在於「轉動慣量 $I$」的大小：實心圓柱的 $I = \frac{1}{2}mR^2$，而薄圓環則是 $I = mR^2$。由於圓環的質量全部集中在邊緣，旋轉起來最為「吃力」，因此會有較大比例的能量被分配到旋轉動能中，導致用來平移的速度受限。相反地，實心圓柱的轉動慣量較小，能保留更多比例的位能給平移速度，因此最終速度較快。
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