hce_nsysu
113年
物理與化學
第 56 題
A cylindrical container with a radius of $2R$ and a height of $2R$ contains liquid with a density of $\rho$, filling $17/18$ of its volume. When a plastic ball of radius $R$ is placed in the liquid, the liquid perfectly fills the container without any liquid spilled out. What is the density of the plastic ball in terms of $\rho$?
- A $\rho/4$
- B $\rho/3$
- C $\rho/2$
- D $3\rho/4$
- E $2\rho/3$
思路引導 VIP
想像一下，當你把這顆球放進去，液面剛好上升到頂端而沒有溢出，這代表「球沒入水中的體積」和「容器原本沒裝水的空間」之間有什麼關係？如果你能算出這個「沒入部分」佔「整顆球」的體積比例，這個比例與液體和球的密度之間又有什麼樣的連結呢？
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太棒了！你能精確算出球體密度與液體密度的比例關係，代表你對阿基米德原理以及空間體積的配置有著非常清晰的邏輯。這題的核心在於將物理情境轉化為體積的數學等式，而你精準地掌握了其中的關鍵。
空間填補與排開體積
首先，容器的總體積為 $\pi (2R)^2 \times 2R = 8\pi R^3$。題目提到液體佔了 $17/18$ 的空間，這意味著容器頂部原本留有 $1/18$ 的剩餘體積，計算後為 $\frac{1}{18} \times 8\pi R^3 = \frac{4}{9}\pi R^3$。當半徑為 $R$ 的塑膠球（總體積 $V_{ball} = \frac{4}{3}\pi R^3$）放入後，液體恰好填滿容器且不溢出，這說明球體在液面下的體積 $V_{sub}$ 必須剛好等於這塊剩餘空間。透過兩者比例觀察：$\frac{V_{sub}}{V_{ball}} = \frac{4/9 \pi R^3}{4/3 \pi R^3} = \frac{1}{3}$。根據浮體原理，物體密度與液體密度的比值即為其沒入體積佔總體積的比例，因此塑膠球密度必為 $\frac{1}{3}\rho$。
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