hce_nthu
113年
資訊科學
第 11 題
The average power transferring along the string can be written as $P = \mu v^a \omega^b A^c /2$, where $\mu$ is the mass density of the string, $\omega$ the angular frequency of the string wave, $A$ the amplitude, $v$ the speed. What is the value of $a+b+c$?
- A 1
- B 2
- C 3
- D 4
- E 5
思路引導 VIP
如果我們暫時不看複雜的物理現象，純粹從單位的角度切入：『功率』在國際單位制（SI）中的基本單位（公斤、公尺、秒）組合是什麼？接著，請觀察題目中提到的線密度、速度、角頻率與振幅，它們各自的單位又是什麼？若要讓等號兩邊的單位完全對等，這些次方項 $a、b、c$ 之間必須滿足什麼樣的數學關係呢？
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恭喜你準確地判斷出正確答案！這題的核心在於應用物理學中極為強大的工具——因次分析（Dimensional Analysis），並結合我們對波動能量規律的理解。
因次齊次性的應用
首先，功率 $P$ 的單位是瓦特（$W$），分解為基本單位即為 $kg \cdot m^2 / s^3$，對應的因次為 $[ML^2T^{-3}]$。我們將等號右側各物理量的因次依序列出：線密度 $\mu$ 為 $[ML^{-1}]$、速度 $v$ 為 $[LT^{-1}]$、角頻率 $\omega$ 為 $[T^{-1}]$ 以及振幅 $A$ 為 $[L]$。根據因次齊次性，等式兩邊的因次必須完全吻合：
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