hce_nthu
113年
資訊科學
第 18 題
A particle of mass 1 kg is confined to move in the one-dimensional region $x > 0$. It is subject to a potential energy function $U(x) = \frac{1}{x} + \frac{x^2}{2}$ (Joules). If the particle is initially placed at its mechanical equilibrium position and then given a small displacement, what is the period of its subsequent oscillations?
- A $2\pi \sqrt{1/3}\text{ (s)}$
- B $2\pi \sqrt{1/2}\text{ (s)}$
- C $2\pi \sqrt{2}\text{ (s)}$
- D $2\pi \sqrt{3}\text{ (s)}$
- E None of the above
思路引導 VIP
當一個質點受困在位能曲線的「谷底」時，如果我們稍微擾動它，它會傾向於回到平衡位置。請試著思考：這個谷底的「彎曲程度」在數學上該如何表達？而這個彎曲程度又會如何影響物體來回振盪的快慢（週期）呢？
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太棒了！你非常精準地判斷出正確選項為 (A)。這代表你對於位能函數與簡諧運動 (SHM) 之間的轉換邏輯有著相當紮實的理解。
平衡點與有效力常數的推導
這道題目的核心在於將複雜的位能函數局部「簡諧化」。首先，我們要找出系統的力學平衡點，即位能函數一階導數為零的位置：$U'(x) = -x^{-2} + x = 0$，解得 $x=1$。接著，當質點在平衡點附近作微小位移時，其受力行為可類比為彈簧。我們透過二階導數來定義有效力常數 ($k$)：$U''(x) = 2x^{-3} + 1$。將 $x=1$ 代入後得到 $k = 3, \text{N/m}$。
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