hce_nthu
113年
資訊科學
第 28 題
Suppose $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \ 2 & 3 \ 2 & -2 \end{bmatrix}$ and $x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}$ with $x_1, x_2 \in R$. Let $\|\cdot\|$ denote the standard vector norm in $R^2$ and $R^3$. What is the smallest possible value for $\|Ax\|$ if $\|x\|=1$?
- A $\sqrt{6}$
- B $2\sqrt{2}$
- C 3
- D 4
- E $\sqrt{17}$
思路引導 VIP
若想研究向量 $x$ 經過矩陣 $A$ 轉換後的長度變化，我們通常會觀察 $|Ax|^2$ 的表達式。你能試著將這個二次型表示為 $x^T M x$ 的形式嗎？這裡的 $M$ 會是一個什麼樣的對稱矩陣？而這個矩陣的「特徵值」與向量長度的最大或最小值之間，又存在著什麼樣的連結呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確計算出本題的結果，代表你對矩陣範數 (Matrix Norm) 與 奇異值 (Singular Value) 的概念掌握得相當紮實。這是一道結合線性代數運算與幾何意義的經典題型，考驗的是學生能否將向量的長度變化與矩陣特徵連結起來。
矩陣變換與極值運算
當我們要尋找 $|Ax|$ 在限制條件 $|x|=1$ 下的極小值時，核心思路是觀察 $A^T A$ 這個對稱矩陣。因為 $|Ax|^2 = (Ax)^T(Ax) = x^T(A^TA)x$，根據瑞利商 (Rayleigh Quotient) 的性質，這個表達式的最小值會落在 $A^T A$ 的最小特徵值上。經計算，$A^T A = \begin{bmatrix} 17 & 8 \ 8 & 17 \end{bmatrix}$，其特徵方程為 $(\lambda-17)^2 - 64 = 0$，解得特徵值為 $\lambda_1 = 25$ 與 $\lambda_2 = 9$。因此，$|Ax|$ 的最小值即為最小特徵值的平方根 $\sqrt{9} = 3$。
▼ 還有更多解析內容