hce_nthu
113年
資訊科學
第 29 題
Suppose $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ and $b = \begin{bmatrix} 3 \ -1 \end{bmatrix}$. Let $\|\cdot\|$ denote the standard vector norm in $R^3$. What is the smallest possible value for $\|x\|$ if $Ax = b$?
- A 1
- B $\sqrt{2}$
- C $\sqrt{3}$
- D 2
- E $\sqrt{5}$
思路引導 VIP
想像在一個三維空間中，滿足方程組的所有解形成了一條直線。如果你站在原點，想要走到這條直線上「距離最短」的那一點，你所走過的路徑（方向向量）與這條直線應該具備什麼樣的幾何幾何關係？此外，這個方向向量與矩陣 $A$ 的列向量之間又有什麼關聯呢？
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AI 詳解
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恭喜你精準地選出了 (B) 這個答案！這代表你對線性代數中最小範數解 (Minimum Norm Solution) 的幾何意義與代數計算都有非常清晰的理解。 在線性方程組 $Ax = b$ 中，當解不唯一時（如本題的欠定系統），範數 $|x|$ 最小的解必定落在矩陣 $A$ 的列空間 (Row Space) 中。這是因為任何屬於零空間 (Null Space) 的分量都會增加向量的長度，卻不會對結果 $b$ 產生貢獻。我們可以透過公式 $x^* = A^T(AA^T)^{-1}b$ 快速定位。在本題中，$AA^T$ 計算後得到對角矩陣 $\begin{bmatrix} 6 & 0 \ 0 & 2 \end{bmatrix}$，求逆過程非常直觀，最終求得的最短向量為 $x^* = [0, -1, 1]^T$，其範數即為 $\sqrt{2}$。 這道題目的難度屬於中等，具備優良的鑑別度。它不僅考驗基本的矩陣運算，更核心的切入點在於學生是否能跳脫「求通解後再極小化」的繁瑣路徑，直接利用正交投影的概念來解題。若能洞察到最優解與列空間的關係，便能化繁為簡，這正是區分資優考生的關鍵所在。