調查局三等申論題
113年
[營繕工程組] 結構分析(包括材料力學與結構學)
第 一 題
如圖(a)所示某點之平面應力元素，已知$\tau_{xy} = 60\text{MPa}$。當此元素逆時針旋轉$\theta$後，如圖(b)所示為主應力平面，其最大正向應力及最小正向應力分別是$\sigma_1 = 250\text{MPa}$、$\sigma_2 = 50\text{MPa}$。當$0 < \theta < 45^\circ$，求正向應力$\sigma_x$、$\sigma_y$、及其最大平面剪應力$\tau_{max}$。（25 分）
提示：$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + (\tau_{xy})^2}$
📝 此題為申論題
📜 參考法條
提示：$\sigma_1 = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + (\tau_{xy})^2}$
思路引導 VIP
本題為標準的平面應力轉換問題，解題關鍵在於運用「應力不變量」與「主應力半徑公式」。首先利用主應力差求出最大剪應力（莫耳圓半徑），再利用應力之和不變求出兩正向應力之和；最後透過給定旋轉角 θ 的範圍，判斷正向應力差的符號以聯立解出 σx 與 σy。
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【解題思路】利用應力不變量定理求正向應力之和，並藉由莫耳圓半徑求正向應力差，最後以主應力旋轉角公式判別正負號來聯立求解。 【詳解】 已知：主應力 $\sigma_1 = 250\text{ MPa}$，$\sigma_2 = 50\text{ MPa}$，剪應力 $\tau_{xy} = 60\text{ MPa}$，且主平面旋轉角 $\theta$ 滿足 $0^\circ < \theta < 45^\circ$。
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