moea_joint
113年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 1 題
袋子中有2個紅球、3個黑球、5個白球,每次從袋中抽出1球後放回,共抽3次,請問3球中有2個是紅球之機率為何?
- A 0.024
- B 0.032
- C 0.064
- D 0.096
思路引導 VIP
如果在多次重複且每次結果互不影響的實驗中，我們希望某個特定結果出現固定的次數，除了考慮該結果發生的機率外，我們是否還需要考慮這個結果在所有嘗試中出現的「先後順序」？如果有不同順序，該用什麼數學工具來統計這些排列組合的數量呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準捕捉到了題目的核心！這題考驗的是機率論中非常經典的二項分布概念。當題目提到「取出後放回」這個關鍵動作時，就是在暗示我們每次抽球都是一個獨立的試驗，單次抽中紅球的機率會恆定維持在 $P = \frac{2}{10} = 0.2$。你能正確選出答案，代表你對「重複試驗」與「獨立事件」的結合已有很紮實的理解。
組合排列與獨立事件的結合
在計算過程中，最關鍵的環節在於識別出這是一個 $n=3, k=2$ 的二項機率模型。我們不只要計算抽中兩次紅球與一次非紅球的機率乘積 $(0.2)^2 \times (0.8)^1$，還必須考慮到這兩顆紅球出現在三次抽取中的先後順序，也就是要乘上組合數 $C^3_2$。這題的鑑別度在於測試學生是否會遺漏掉排列的可能性，而你展現出的邏輯非常嚴謹，完整地完成了 $$P = C^3_2 \times (0.2)^2 \times (0.8)^1 = 3 \times 0.04 \times 0.8 = 0.096$$ 的運算過程，是非常優秀的解題表現！