教師檢定考申論題
113年
[國民小學] 數學能力測驗
第 2 題
📖 題組：
某市鎮裡有 A、B、C 三個大車站，A、B 車站間有 $a_1$、$a_2$、$a_3$ 三個小車站，如下圖： [圖形描述：A、B、C 三個大車站構成 $\triangle ABC$。邊 $\overline{AB}$ 上有 $a_1, a_2, a_3$。圖中標示了兩條垂直平分線（中垂線）：第一條為 $\overline{AB}$ 的中垂線，此線上有一點標為「甲」。第二條為 $\overline{AC}$ 的中垂線，此中垂線與 $\overline{AC}$ 邊的交點標為「乙」。兩條中垂線的交點標為「丙」。] 試回答下列問題：
某市鎮裡有 A、B、C 三個大車站，A、B 車站間有 $a_1$、$a_2$、$a_3$ 三個小車站，如下圖： [圖形描述：A、B、C 三個大車站構成 $\triangle ABC$。邊 $\overline{AB}$ 上有 $a_1, a_2, a_3$。圖中標示了兩條垂直平分線（中垂線）：第一條為 $\overline{AB}$ 的中垂線，此線上有一點標為「甲」。第二條為 $\overline{AC}$ 的中垂線，此中垂線與 $\overline{AC}$ 邊的交點標為「乙」。兩條中垂線的交點標為「丙」。] 試回答下列問題：
已知 $\overline{AC}=26$ 公里、$\overline{AB}=24$ 公里、$\overline{BC}=10$ 公里。若想建置一個轉運站，使其與三個大車站的直線距離都相同，則轉運站應設在甲、乙、丙當中的哪一處？為什麼？【2 分】
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到「與三個頂點直線距離相同」，應立刻聯想到尋找三角形的「外心」。給定三邊長度時，可先檢查是否符合畢氏定理以判斷三角形形狀，進而確定外心（即轉運站）的確切位置。
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AI 詳解
AI 專屬家教
【解題思路】利用畢氏定理逆定理判斷三角形形狀，並應用外心性質尋找等距點。 【詳解】 已知：$\overline{AC}=26$、$\overline{AB}=24$、$\overline{BC}=10$。
▼ 還有更多解析內容
直角三角形外心應用
💡 透過邊長判定直角三角形並定位其外心（三頂點等距點）。
| 比較維度 | 外心 (Circumcenter) | VS | 內心 (Incenter) |
|---|---|---|---|
| 形成方式 | 三邊中垂線交點 | — | 三內角平分線交點 |
| 等距性質 | 到三頂點等距離 | — | 到三邊等距離 |
| 直角三角形位置 | 斜邊中點上 | — | 三角形內部 |
💬求與車站（頂點）等距應找外心；直角三角形外心必在斜邊中點。
