普考申論題
114年
[土木工程] 測量學概要
第 一 題
利用全站儀量測一矩形和一直角三角形土地（如下圖所示），矩形土地之長（a）和寬（b）邊長度分別為 300.00±0.04 m 和 200.00±0.01 m，三角形土地之股（c）和勾（d）邊長度分別為 250.00±0.03 m 和 210.00±0.02 m，且 a、b、c、d 觀測量皆不相關。請計算矩形土地、直角三角形土地和兩土地相加之面積和其標準誤差？（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到這類題目，應直覺想到「誤差傳播定律」（Error Propagation Law）。解題步驟為：第一步，先列出各圖形面積的函數方程式；第二步，將該函數對各自的獨立觀測量進行偏微分；第三步，代入已知數值與中誤差求得目標面積及其標準誤差。最後，將兩塊獨立面積的變異數直接相加後開平方根，即可求出總面積的標準誤差。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
【解題關鍵】運用「誤差傳播定律」，先確立各圖形面積之函數關係，再透過偏微分公式推導計算各面積的標準誤差。 【解答】 已知條件整理：
▼ 還有更多解析內容
誤差傳播定律與面積計算
💡 運用全微分推導誤差傳播公式，計算觀測值組合後之標準誤差。
🔗 誤差傳播計算標準流程
- 1 函數定義 — 依幾何形狀列出面積公式 f(x,y)。
- 2 偏微分運算 — 計算各觀測值對面積的影響係數。
- 3 單一誤差合成 — 利用誤差傳播公式求出各別土地面積誤差。
- 4 總量誤差加總 — 因觀測不相關，以平方和根號求取總面積誤差。
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：若觀測量具相關性（相關係數不為0），則公式須納入協方差項。
