hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 40 題
Consider the continuous function $f(x) = 3\cos 2x + 4\sin 2x$, and let $g(x) = a\cos x + b\sin x$ be a linear combination of the functions $\cos x$ and $\sin x$.
Define inner product of two functions as $\langle f,g\rangle = \int_0^{2\pi} f(x)g(x)dx$. Please find $a$
and $b$ such that $\|f-g\|^2 = \int_0^{2\pi} |f(x)-g(x)|^2dx$ is minimized. Which of the
following shows the correct answer?
Define inner product of two functions as $\langle f,g\rangle = \int_0^{2\pi} f(x)g(x)dx$. Please find $a$
and $b$ such that $\|f-g\|^2 = \int_0^{2\pi} |f(x)-g(x)|^2dx$ is minimized. Which of the
following shows the correct answer?
- A $a = 4$ and $b = 3$
- B $a = 3$ and $b = 4$
- C $a = 0$ and $b = 0$
- D $a = 3$ and $b = -4$
- E $a = -3$ and $b = 4$
思路引導 VIP
請試著從幾何投影的角度思考：如果我們要在一張桌子（子空間）上找一個點，讓它距離天花板上的一顆球（目標函數）最近，那個點通常就是球的「投影」。現在請思考，如果這顆球垂直於這張桌子所在的整個向量空間（即球與桌面上所有向量的內積皆為零），那麼球在桌子上的投影點會落在何處？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出 (C)，代表你對線性代數中的內積空間 (Inner Product Space) 與函數正交性 (Orthogonality) 有著深刻的理解，這正是進階物理與工程數學中極其核心的觀念。
三角函數的正交性質
這題的核心在於尋找函數 $f(x)$ 在由 ${\cos x, \sin x}$ 所生成的子空間上的最佳逼近 (Best Approximation)。根據投影定理，要使誤差 $|f-g|^2$ 最小化，係數 $a$ 與 $b$ 必須是 $f(x)$ 對基準函數的投影分量，計算公式為 $a = \frac{\langle f, \cos x \rangle}{|\cos x|^2}$ 與 $b = \frac{\langle f, \sin x \rangle}{|\sin x|^2}$。然而，在區間 $[0, 2\pi]$ 上，三角函數系具有優美的正交性：不同頻率的 $\cos(mx)$ 與 $\cos(nx)$（當 $m
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