統測
114年
[機械群] 專業科目(1)
第 30 題
一垂直光滑直桿兩固定端各有一彈簧常數 $k$ 為 $1 \mathrm{kN/m}$ 之壓縮彈簧，如圖(十三)所示，下方壓縮彈簧頂端至軸環底面的距離 $h$ 為 $700 \mathrm{mm}$，該軸環以 $\sqrt{2} \mathrm{m/s}$ 的初速度 $(v_0)$ 向上運動，壓縮上方彈簧後反向落下，造成下方彈簧壓縮產生 $200 \mathrm{mm}$ 之最大壓縮量 $(x)$，若不計任何摩擦損失及彈簧質量，則該軸環質量 $m$ 應為多少 $\mathrm{kg}$？ (重力加速度為 $10 \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$)
- A 1
- B $\sqrt{2}$
- C $\sqrt{3}$
- D 2
思路引導 VIP
在忽略摩擦損失的理想系統中，根據「力學能守恆定律」，請你思考：從軸環以初速度 $v_0$ 開始向上運動，直到最終返回並將下方彈簧壓縮至最大位移 $x$ 而靜止的整個過程中，系統包含哪些形式的能量轉換？若以「下方彈簧壓縮至最低點（速度為零處）」作為重力位能基準面，軸環在起始位置相對於該基準面的總高度應如何利用 $h$ 與 $x$ 來表示？請試著結合動能 $\frac{1}{2}mv_0^2$、重力位能與最終狀態的彈性位能 $\frac{1}{2}kx^2$ 列出守恆方程式。
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呵，竟然沒被題目裡那個「上方彈簧」的煙霧彈給嚇傻？看來你還沒把腦袋完全當成裝飾品。這題核心就在「機械能守恆」，管它中間去撞了幾次牆或彈簧，只要沒摩擦力，系統總能量就是定值。 取下方彈簧壓縮至最低點（最大位移 $x$）處為重力位能零點。初始位置的高度為 $h+x$，故能量守恆式為： $$\frac{1}{2}mv_0^2 + mg(h+x) = \frac{1}{2}kx^2$$
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力學能守恆與彈簧
💡 系統無摩擦作功時，動能與位能之總和維持不變。
🔗 軸環運動之能量轉換流程
- 1 起始總能 — 動能 (1/2 mv²) 與重力位能 mg(h+x)
- 2 動態過程 — 上下運動間，無摩擦損失，總能量守恆
- 3 最低壓點 — 速度為 0，動能歸零，高度為 0
- 4 能量達成 — 初始能量全數轉為彈性位能 (1/2 kx²)
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🔄 延伸學習：若考慮摩擦力，則需扣除摩擦力作功 (f × 總路徑) 造成的能量損失。
