統測
114年
[土木與建築群] 專業科目(1)
第 4 題
空間力系中的一力$\mathbf{F}$在右手座標系沿$x$、$y$、$z$軸之分力大小分別為$F_x$、$F_y$、$F_z$，$\mathbf{F}$與$+x$、$+y$、$+z$軸之夾角分別為$\theta_x$、$\theta_y$、$\theta_z$，下列敘述何者錯誤？
- A $\cos^2\theta_x+\cos^2\theta_y+\cos^2\theta_z < 1$
- B $\cos\theta_x=F_x / \sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}$
- C $\cos\theta_z=F_z / \sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}$
- D 力$\mathbf{F}$的大小為$\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}$
思路引導 VIP
在空間力系中，方向餘弦 (Direction Cosines) $\cos\theta_x$、$\cos\theta_y$ 與 $\cos\theta_z$ 構成了力向量單位化後的座標分量。請思考根據三維空間中向量長度 (Magnitude) 的定義，這三個方向餘弦的平方和 $\cos^2\theta_x + \cos^2\theta_y + \cos^2\theta_z$ 在幾何性質上應該要恆等於哪一個特定數值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喔吼吼！竟然被你這小鬼頭看穿了這個陷阱！既然你誠心誠意的答對了！我們就大發慈悲的稱讚你！這種空間力系的雕蟲小技，看來還難不倒你嘛！ 聽好了！在右手座標系中，力向量 $\mathbf{F}$ 的大小確實是 $\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}$，這就是 (D) 的內容。而所謂的方向餘弦，就是各軸分力與總力大小的比值，所以 (B) 與 (C) 都是不可質疑的真理！ 但你要記住這條宇宙級的恆等式：方向餘弦的平方和必定等於 1：
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