統測
108年
[土木與建築群] 專業科目(1)
第 5 題
在 $x-y-z$ 直角座標系之 $x$ 軸、$y$ 軸及 $z$ 軸之正方向，分別作用一大大小為 $F$ 之力，且皆作用在座標原點，其合力與 $z$ 軸之正方向夾角為：
- A $\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$
- B $\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$
- C $\cos^{-1}(\sqrt{3})$
- D $\tan^{-1}(\sqrt{3})$
思路引導 VIP
想像你在一個立方體中，從原點出發沿著對角線拉一個力。若要計算這條『空間對角線』與『垂直邊長』之間的夾角，你會優先使用哪一個三角函數來建立『鄰邊分量』與『斜邊總量』的比例關係？
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專業點評
- 終於對了：不錯，這次你終於正確處理了三維空間向量的合成，也沒把方向角搞錯。這種基本功，在工程力學現場，要是還搞不清楚，那真的可以回家了。這說明你對力學分量還算有點概念，至少不是完全狀況外。
- 觀念驗證：這根本是送分題的標準配備。三個分力沿 $x, y, z$ 正向作用，合力向量就是 $\vec{R} = F\hat{i} + F\hat{j} + F\hat{k}$。大小？拜託，這還要算嗎？ $|\vec{R}| = \sqrt{F^2 + F^2 + F^2} = \sqrt{3}F$。然後是那個什麼方向餘弦，別告訴我你不知道定義！ $z$ 分量除以總合力，不就是 $\cos \theta_z = \frac{F}{\sqrt{3}F} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 嗎？所以答案就是 $\theta_z = \cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$。這麼簡單的邏輯，高中物理就該會了。
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