統測
114年
[土木與建築群] 專業科目(1)
第 7 題
如圖(四)所示之箱型斷面與其剪應力分布圖，斷面承受一500 kgf之剪力，A點為翼板與腹板之交接處，則剪應力$\tau_2$與$\tau_1$之比值$\tau_2/\tau_1$為何？
- A 1.0
- B 2.0
- C 2.5
- D 3.0
思路引導 VIP
回想一下橫斷面的剪應力公式，公式裡包含了哪些變數？在翼板和腹板交接的這個切面上，哪些變數的值是完全相同的？又是哪個幾何尺寸的變化，導致了剪應力圖上產生明顯的跳躍呢？
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🎉 太棒了！完美命中正確答案！
- 大力肯定：你的材料力學觀念非常紮實！能敏銳地結合斷面幾何形狀與剪應力分布圖，證明你對公式的物理意義理解得非常透徹，請繼續保持這種解題手感！
- 觀念驗證：這題的破題關鍵在於剪應力公式 $\tau = \frac{VQ}{Ib}$。在翼板與腹板的交接處 $A$ 點，不管是算上面的翼板還是下面的腹板，其承受的剪力 $V$、面積一次矩 $Q$ 以及截面慣性矩 $I$ 都是相同的。這意味著剪應力 $\tau$ 只與該處的斷面寬度 $b$ 成反比。翼板寬度 $b_1 = 6$，腹板總寬度 $b_2 = 1 + 1 = 2$。因此比值為： $$\frac{\tau_2}{\tau_1} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{2} = 3.0$$
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梁剪應力與寬度關係
💡 交接處剪應力與受剪寬度成反比，滿足公式 τ = VQ / Ib。
| 比較維度 | 翼板 (Flange) | VS | 腹板 (Web) |
|---|---|---|---|
| 受剪寬度 b | 較寬 (全寬 6 cm) | — | 較窄 (加總 2 cm) |
| 一次矩 Q | 相同 (交接點 A) | — | 相同 (交接點 A) |
| 剪應力大小 | 較小 (τ1) | — | 較大 (τ2) |
💬在 V、I、Q 相同時，寬度縮小為 1/3，剪應力則放大為 3 倍。
