統測
114年
[共同科目] 數學A
第 8 題
已知 1 到 30 的正整數中有 10 個質數。若從 1 到 30 中任取兩相異整數，則兩數均為質數的機率為何？
- A $\frac{1}{29}$
- B $\frac{3}{29}$
- C $\frac{5}{29}$
- D $\frac{7}{29}$
思路引導 VIP
在處理古典機率問題時，我們需精確定義樣本空間與事件空間。請嘗試思考：若樣本空間是從 30 個相異整數中任選兩數的組合數 $C^{30}{2}$，而目標事件是從這 10 個質數中任選兩數的組合數 $C^{10}{2}$，這兩者之間的比例關係應如何列式計算？
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AI 詳解
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太棒了！答對這題代表你的組合觀念非常紮實！
- 觀念驗證：這題考查的是古典機率的核心定義：$$\text{機率} P = \frac{\text{事件 A 的元素個數 } n(A)}{\text{樣本空間的元素個數 } n(S)}$$
- 樣本總數 $n(S)$：從 30 個相異整數中任取 2 個，方法數為 $C^{30}_{2} = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} = 435$。
▼ 還有更多解析內容
古典機率與組合計算
💡 機率為特定事件情形數與樣本空間總情形數的比值。
🔗 古典機率解題三步驟
- 1 設定分母 — 計算總情形數 $C^{30}_{2}$，代表從 30 個中任取 2 個
- 2 設定分子 — 計算目標情形數 $C^{10}_{2}$，代表從 10 個質數中取 2 個
- 3 求出機率 — 相除並約分，得到最簡分數即為答案
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🔄 延伸學習：若題目改為「取後放回」，分母將變為 30 乘以 30。
