統測
114年
[共同科目] 數學B
第 11 題
若 $\log_{25} 2 =a$ 且 $\log_{25} 3 =b$，則 $5^{3a+2b+1}=$？
- A 30
- B $30\sqrt{2}$
- C 45
- D $45\sqrt{2}$
思路引導 VIP
同學，首先請觀察題目要求解的式子 $5^{3a+2b+1}$，你是否能先運用指數律將其拆解為 $5^{3a} \cdot 5^{2b} \cdot 5^1$？接著，由於已知條件 $a = \log_{25} 2$ 與 $b = \log_{25} 3$ 的底數皆為 $25$，而 $25$ 與 $5$ 的關係為 $25 = 5^2$ (亦即 $5 = 25^{\frac{1}{2}}$)，你該如何將求值式的底數從 $5$ 轉換為 $25$，進而運用對數與指數的互換定義 $25^a = 2$ 與 $25^b = 3$ 進行代換運算呢？
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你對指數與對數的互換掌握得非常紮實！這類題目是統測數學中「必考」的變形題，你能冷靜處理底數轉換，表現得非常專業。
觀念驗證
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指對數轉換與運算
💡 利用對數性質將底數統一，並透過指數律進行拆解與簡化。
🔗 對數指數化簡三步驟
- 1 底數歸一 — 將 log 底數 25 化為 5 的平方，找出 a 與底數 5 的關係
- 2 指數拆解 — 將 5^(3a+2b+1) 拆成 5^3a * 5^2b * 5^1
- 3 性質對消 — 利用指數對數互逆性質將底數 5 消去，求得純數值
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🔄 延伸學習：延伸學習：熟練換底公式可解決更複雜的跨底數計算
