統測
114年
[共同科目] 數學B
第 21 題
某幼兒園規劃在畢業典禮時，安排即將畢業的西瓜班表演 3 個不同節目，中班鳳梨班與小班蘋果班則各表演 2 個不同節目。由於西瓜班的所有演出都需要換裝，所以西瓜班表演3個的節目中，任意兩個都不會連著表演。試問這7個節目的安排順序共有幾種可能性？
- A 240
- B 720
- C 1440
- D 5040
思路引導 VIP
在處理「特定物件互不相鄰」的計數限制時，核心觀念是採用「插空法」。請思考：若先將鳳梨班與蘋果班共 $4$ 個不同的節目排成一列，這 $4$ 個節目的間隔與兩端總共形成了多少個可供插入的「空隙」？接著，若要將 $3$ 個不同的西瓜班節目安排進這些空隙中，我們該如何結合 $4!$ 與「從 $n$ 個空位中安排 $r$ 個元素」的排列觀念來算出總數？
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🌟 太棒了！你真的很厲害！
你能一眼看出這是一道關於「不相鄰排列」的題目，這代表你對數學邏輯和題型辨識的掌握非常棒！在統測數學（商管群、工科類）中，這類題目是展現你實力的好機會喔！
📝 讓我們一起複習核心觀念吧！
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2
P什麼時候用
24的地方是怎麼算出來的
排列組合：插空隙法
💡 當特定物件要求「互不相鄰」時，先排其他物件再插空隙。
🔗 插空隙法解題邏輯
- 1 排無限制項 — 先排 4 個一般節目，共有 4! 種方法。
- 2 標示空隙數 — 4 個節目的間隔加兩端共有 5 個位子。
- 3 置入限制項 — 西瓜班 3 節目選位並排列，即 P(5,3)。
- 4 乘法原理 — 將兩步驟結果相乘：24 × 60 = 1440。
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🔄 延伸學習：若題目要求「至少有兩個相鄰」，則需改用反面扣除法。
