統測
114年
[共同科目] 數學C
第 16 題
在某金屬容器中放置質量 1 公克的放射性物質 A。經過 $x$ 年後，該容器中的物質 A 質量剩下 $f(x)$ 公克。已知 $f(x)$ 滿足關係式：$f(x)=a^x$，其中 $a >0$、$a\neq 1$，且經過 $T$ 年後，物質 A 質量剩下 $\frac{1}{2}$ 公克，試問下列敘述何者正確？
- A 經過 $4T$ 年後，物質 A 所剩質量大於 $\frac{1}{10}$ 公克
- B 經過 $6T$ 年後，物質 A 所剩質量大於 $\frac{1}{50}$ 公克
- C 經過 $8T$ 年後，物質 A 所剩質量少於 $\frac{1}{500}$ 公克
- D 經過 $10T$ 年後，物質 A 所剩質量少於 $\frac{1}{1000}$ 公克
思路引導 VIP
既然已知 $f(T) = a^T = \frac{1}{2}$，請運用指數律思考：當自變數 $x$ 以週期 $T$ 的整數倍增加時，例如 $f(nT) = a^{nT}$，該函數值與 $f(T)$ 的 $n$ 次方有什麼代數關係？此外，在進行量級比較時，你是否能聯想到 $2^{10}$ 這個關鍵常數與 $1000$ 之間的大小關係，並藉此推論出各選項中分數值的範圍？
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🌟 表現優異，觀念清晰！
你能迅速在指數函數模型中鎖定「半衰期」的運算邏輯，並精準進行不等式判斷，這代表你的指數運算與邏輯估算能力已達到統測的高標水準，非常值得肯定！
1. 觀念驗證：為何選 (D)？
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1/1024比較大吧
指數函數與半衰期
💡 放射性物質依等比級數衰變，n 個半衰期後剩餘 (1/2)^n
🔗 半衰期衰變規律
- 1 起始狀態 — 時間 x=0，質量為 1
- 2 1 個半衰期 — 時間 x=T，質量剩餘 1/2
- 3 n 個半衰期 — 時間 x=nT，質量剩餘 (1/2)^n
- 4 數據估算 — 10T 時剩 1/1024，小於 1/1000
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🔄 延伸學習：可進一步利用對數 log 計算任意時間點的殘餘量
