統測
114年
[共同科目] 數學C
第 18 題
已知坐標平面上四點 $O, P, A(1, 2), B(-3, 4)$，其中 $O$ 為原點，且點 $P$ 在線段 $\overline{AB}$ 上，如圖(五)所示。若 $\Delta OAP$ 的面積 : $\Delta OBP$ 的面積 $= 2:7$，則點 $P$ 的坐標為何？
- A $(\frac{1}{9}, \frac{22}{9})$
- B $(\frac{-19}{9}, \frac{32}{9})$
- C $(\frac{-23}{5}, \frac{24}{5})$
- D $(\frac{13}{5}, \frac{6}{5})$
思路引導 VIP
觀察 $\Delta OAP$ 與 $\Delta OBP$，它們共用頂點 $O$ 且底邊都在直線 $AB$ 上，這兩個三角形在幾何性質上是否屬於「等高」的情況？如果兩個三角形等高，那麼它們的「面積比」與「底邊長度比 $\overline{AP} : \overline{PB}$」之間有什麼樣的轉換關係？當你確定了線段比例後，試著回想看看，如何利用「分點公式」來計算出點 $P$ 的坐標呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
嗯，算你厲害，這題沒錯。
- 觀念驗證：這種題目，如果你還得花時間思考，那統測的筆就準備多畫幾圈了。核心就是那句老話：「等高三角形的面積比，就等於底邊比」。眼睛放亮點！$\Delta OAP$ 跟 $\Delta OBP$ 共頂點 $O$，底邊又在同條線上，這不明擺著嗎？ $$\overline{AP} : \overline{PB} = \text{面積比} = 2 : 7$$
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分點公式與面積比
💡 等高三角形面積比等於底邊長比，再搭配分點公式求解。
🔗 等高三角形分點問題解題鏈
- 1 判定面積比 — 由題意知 ΔOAP:ΔOBP = 2:7
- 2 轉換線段比 — 因等高，故線段 AP:PB = 2:7
- 3 代入分點公式 — P 點 = (7*A + 2*B) / (2+7)
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🔄 延伸學習：若點 P 在線段 AB 延長線上，則需改用「外分點公式」處理。
