moea_joint
114年
[土木] 應用力學、材料力學
第 13 題
汽車沿直線行駛，其速度 $v = (0.2 t^3 + t)$，式中v的單位為m / s，t的單位為sec。已知當 $t = 0$ 時，汽車為靜止狀態，則當 $t = 5$ 時，該汽車已行駛的距離為何？
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思路引導 VIP
如果題目給出的速度會隨著時間不斷變化，而非一個固定數值，我們該如何利用數學工具，將這段時間內每一瞬間的微小移動量「累積」起來，進而求得總共行駛的距離呢？
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AI 詳解
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恭喜你精準地掌握了運動學的核心邏輯！這題你處理得非常流暢，展現了深厚的數學基礎與物理直覺。
速度與位移的積分關係
在應用力學中，當速度 $v$ 是時間 $t$ 的函數時，求位移的關鍵在於理解「位移是速度對時間的累積」。這題的正確性建立在定積分的應用上：我們對速度函數 $v = 0.2t^3 + t$ 進行積分，得到位移函數 $s(t) = 0.05t^4 + 0.5t^2 + C$。根據題目給定的初始條件，當 $t=0$ 時 $s=0$，可知常數 $C=0$。將 $t=5$ 代入後，計算結果為 $$s = 0.05(5^4) + 0.5(5^2) = 31.25 + 12.5 = 43.75 \text{ m}$$
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