ast_essay
115年
數學甲
第 16 題
📖 題組：
15-17 題為題組 考慮坐標空間中兩平面 $E_1: x+y+2z=2$、$E_2: 2x-y+z=1$，並設其交線為 $L$。根據上述，試回答下列問題。
15-17 題為題組 考慮坐標空間中兩平面 $E_1: x+y+2z=2$、$E_2: 2x-y+z=1$，並設其交線為 $L$。根據上述，試回答下列問題。
16. 設另一平面 $E_3$ 與 $L$ 平行且包含直線 $\begin{cases} x = 3+t \ y = -2-t \ z = 2+3t \end{cases}$，$t$ 為實數，試求平面 $E_3$ 的方程式。
（非選擇題，4 分）
（非選擇題，4 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
求平面的方程式需要「一點」和「一個法向量」。由題意得知平面 $E_3$ 包含已知直線（可提供一點及方向向量一），並且平行於直線 $L$。直線 $L$ 的方向向量可藉由對 $E_1$ 和 $E_2$ 的法向量取外積求得。這時 $E_3$ 同時平行於兩個方向向量，再將這兩個方向向量作外積，即可得到 $E_3$ 的法向量，隨後點法式即可組裝出平面方程式。
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AI 詳解
AI 專屬家教
由 $E_1$ 的法向量 $(1, 1, 2)$ 與 $E_2$ 的法向量 $(2, -1, 1)$，作外積可得 $L$ 的方向向量為 $(3, 3, -3)$。 另直線 $L': \begin{cases} x = 3+t \ y = -2-t \ z = 2+3t \end{cases}$ 的方向向量為 $(1, -1, 3)$， 將此兩直線的方向向量作外積可得 $E_3$ 的法向量為 $(1, -2, -1)$，
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