ast_essay
113年
數學甲
第 13 題
📖 題組：
坐標空間中，考慮三個平面 $E_1: x+y+z=7$、$E_2: x-y+z=3$、$E_3: x-y-z=-5$。令 $E_1$ 與 $E_2$ 相交的直線為 $L_3$；$E_2$ 與 $E_3$ 相交的直線為 $L_1$；$E_3$ 與 $E_1$ 相交的直線為 $L_2$。 根據上述，試回答下列問題。
坐標空間中，考慮三個平面 $E_1: x+y+z=7$、$E_2: x-y+z=3$、$E_3: x-y-z=-5$。令 $E_1$ 與 $E_2$ 相交的直線為 $L_3$；$E_2$ 與 $E_3$ 相交的直線為 $L_1$；$E_3$ 與 $E_1$ 相交的直線為 $L_2$。 根據上述，試回答下列問題。
試說明 $L_1$、$L_2$、$L_3$ 中，任兩直線所夾的銳角皆為 $60^\circ$。（非選擇題，4分）
（註：令 $L_1$ 與 $L_2$ 所夾的銳角為 $\alpha$，$L_2$ 與 $L_3$ 所夾的銳角為 $\beta$，$L_3$ 與 $L_1$ 所夾的銳角為 $\gamma$）
（註：令 $L_1$ 與 $L_2$ 所夾的銳角為 $\alpha$，$L_2$ 與 $L_3$ 所夾的銳角為 $\beta$，$L_3$ 與 $L_1$ 所夾的銳角為 $\gamma$）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
要證明兩直線的夾角，需先找出各自的方向向量。因為直線是兩平面的交線，所以該直線的方向向量必與兩平面的法向量都垂直，可以利用外積求得。分別算出三直線的方向向量後，再運用向量內積公式 $\cos\theta = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ 求出夾角餘弦值，因為題目問的是銳角所以記得加上絕對值，若算出來的餘弦值為 $\frac{1}{2}$，則代表角度為 $60^\circ$。
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AI 詳解
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因為 $E_2$ 與 $E_3$ 相交的直線為 $L_1$，直線 $L_1$ 的一個方向向量為 $\vec{w}=(1,-1,1)\times(1,-1,-1)=(2,2,0)$。 $\vec{v_1}=\frac{1}{2}\vec{w}=(1,1,0)$ 也會是直線 $L_1$ 的一個方向向量。（或取 $L_1$ 上異於 $P$ 的一點 $Q(2,3,4)$，可得 $L_1$ 的一個方向向量 $\vec{PQ}=(1,1,0)$）。 同理可得 $\vec{v_2}=(0,1,-1)$，$\vec{v_3}=(1,0,-1)$ 分別為直線 $L_2$ 和 $L_3$ 的一個方向向量。
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