ast_essay
115年
數學甲
第 17 題
📖 題組：
15-17 題為題組 考慮坐標空間中兩平面 $E_1: x+y+2z=2$、$E_2: 2x-y+z=1$，並設其交線為 $L$。根據上述，試回答下列問題。
15-17 題為題組 考慮坐標空間中兩平面 $E_1: x+y+2z=2$、$E_2: 2x-y+z=1$，並設其交線為 $L$。根據上述，試回答下列問題。
17. 承 16，設另一平面 $E$ 與三平面 $E_1, E_2, E_3$ 皆垂直，且設 $E$ 分別與 $E_1$、$E_2$、$E_3$ 的三條交線在 $E$ 上所圍出的三角形為 $\Gamma$。試證明 $\Gamma$ 為正三角形並求 $\Gamma$ 的邊長。
（非選擇題，6 分）
（非選擇題，6 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一道結合截面與空間幾何的題目。平面 $E$ 垂直於 $E_1, E_2, E_3$ 意味著三角形 $\Gamma$ 的內角，其實對應了這三個平面的兩面角。藉由計算 $E_1, E_2, E_3$ 法向量的內積，可以確認兩面角為 $60^\circ$ 或 $120^\circ$，由此可推論三角形內角必定皆為 $60^\circ$ 從而得證為正三角形。求邊長時，考驗對於「高」的直覺轉化：$E_1$ 與 $E_2$ 的交線 $L$ 平行於 $E_3$，因此 $L$ 上任一點到 $E_3$ 的距離，恰好等於這個正三角形在平面 $E$ 上的高。利用高與邊長的比例關係就能輕鬆求得長度。
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AI 詳解
AI 專屬家教
【解法一】 由題設 $E$ 與 $E_1, E_2, E_3$ 均垂直，可得 $\Gamma$ 之內角為 $E_1, E_2, E_3$ 任取兩面的一個兩面角。透過法向量內積計算兩面角的餘弦值為 $E_1$、$E_2$：$\frac{(1, 1, 2)\cdot(2, -1, 1)}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$，
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