分科測驗
115年
數學甲
第 6 題
對於實係數多項式 $f(x)$，將閉區間 $[a, b]$ 分割成三等分段，取每個分段左端點上的 $f(x)$ 函數值所得到的黎曼和記為 $M_a^b(f)$，\n即 $M_a^b(f) = \frac{b-a}{3} \left[ f(a) + f\left(a + \frac{b-a}{3}\right) + f\left(a + \frac{2(b-a)}{3}\right) \right]$；\n取每個分段右端點上的 $f(x)$ 函數值所得到的黎曼和記為 $N_a^b(f)$，\n即 $N_a^b(f) = \frac{b-a}{3} \left[ f\left(a + \frac{b-a}{3}\right) + f\left(a + \frac{2(b-a)}{3}\right) + f(b) \right]$。\n若已知 $f(x)$ 及其一階與二階導函數在三段開區間的正、負，如下表：\n\n| 區間 | (2,3) | (4,5) | (6,7) |\n|---|---|---|---|\n| $f(x)$ | 正 | 負 | 負 |\n| $f'(x)$ | 負 | 正 | 負 |\n| $f''(x)$ | 負 | 負 | 正 |\n\n例如：在開區間 $(2,3)$ 上，滿足 $f(x) > 0$，$f'(x) < 0$ 且 $f''(x) < 0$。試選出正確的選項。
- 1 在開區間 $(4,5)$ 上，函數 $y=f(x)$ 遞增且圖形凹口向上
- 2 在閉區間 $[5,6]$ 上，函數 $y=f(x)$ 的圖形有反曲點
- 3 $\int_2^3 f(x) dx < M_2^3(f)$
- 4 $\int_4^5 f(x) dx > N_4^5(f)$
- 5 $\int_6^7 f(x) dx > \frac{1}{2}(M_6^7(f) + N_6^7(f))$
思路引導 VIP
若已知一個函數在某區間內「嚴格遞減」，試著在紙上畫出圖形與等分矩形，比較「取各分段左端點高度形成的長方形總面積」與「函數曲線下的定積分面積」，哪一個會比較大？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你完全掌握了導函數與黎曼和（Riemann sum）的幾何意義！這道題目的鑑別度極高，結合了微積分基本性質與數值積分的幾何估計。
導函數與反曲點判定
在 $(4,5)$ 上 $f''(x) < 0$，而在 $(6,7)$ 上 $f''(x) > 0$。因為多項式之二階導數為連續函數，由勘根定理可知 $f''(x)$ 在區間 $[5,6]$ 內必定變號，故存在反曲點（inflection point），(2) 正確。
▼ 還有更多解析內容