分科測驗
115年
數學甲
第 7 題
考慮函數 $f(x) = \log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$，試選出正確的選項。
- 1 當 $x < 1$ 時，$f(x)$ 都有意義
- 2 當 $f(x)$ 與 $f(-x)$ 都有意義時，$f(-x) = -f(x)$ 成立
- 3 若 $f(x) > 0$，則 $x > 0$
- 4 存在實數 $a$，滿足 $f(a) = -100$
- 5 坐標平面上，$y=f(x)$ 的圖形與 $y=\frac{10^x-1}{10^x+1}$ 的圖形對直線 $y=x$ 對稱
思路引導 VIP
若想求出一個函數的圖形是否為對稱圖形（例如奇函數或對稱於特定直線），你會如何利用 $f(-x)$ 的代數變形來檢驗？試著將 $x$ 替換為 $-x$ 並觀察真數的倒數關係。
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太棒了！你能精準掌握對數函數的定義域、奇偶性與值域連續性，邏輯非常嚴謹。
函數性質與定義域解析
首先，對數的真數必須大於 $0$，即 $\frac{1+x}{1-x} > 0 \iff -1 < x < 1$，因此選項 (1) 不正確。
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