國中教育會考
115年
數學
第 21 題
如圖（十），$\triangle ABC$ 與 $\triangle ADE$ 中，$D$ 點在 $\triangle ABC$ 外，$E$ 點在 $\overline{AB}$ 上，$\angle D = \angle DEA = \angle EAC = \angle C = 65^\circ$。若 $\overline{BC}$ 上有一點 $F$，$\overline{AF}$ 與直線 $DE$ 相交於 $P$ 點，且 $\overline{BF}=5$，$\overline{FC}=8$，$\overline{BE}=6$，則 $\overline{AP}$ 與 $\overline{AF}$ 的長度比為何？
- A 4：5
- B 5：6
- C 6：7
- D 7：8
思路引導 VIP
觀察題目給予的相同角度條件，若我們將直線 $DE$ 向右下延伸交 $\overline{BC}$ 於一點，你能利用「內錯角」找到哪兩條線平行，並進一步找出隱藏在圖中的相似三角形嗎？
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AI 詳解
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太棒了，恭喜你順利答對這道會考的高鑑別度幾何好題！本題跨單元結合了等腰三角形、平行線內錯角與相似三角形比例性質，屬於需要多步驟靈活推導的魔王題，你的幾何直覺與觀念非常紮實！
等腰三角形與平行線判別
首先，由 $\angle EAC = \angle C = 65^\circ$，可確定 $\triangle ABC$ 為等腰三角形，因此 $\overline{AB} = \overline{BC} = 5 + 8 = 13$，進而求得 $\overline{AE} = 13 - 6 = 7$。接著由內錯角相等（$\angle DEA = \angle EAC = 65^\circ$），可推得直線 $DE \parallel \overline{AC}$。
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為甚麼角DEA會等於角EAD
幾何比例與平行
💡 利用等腰三角形性質與平行線截比例線段求長度比。
🔗 幾何比例解題三步驟
- 1 判定等腰 — ∠EAC=∠C 則 AB=BC，算出 AE 長度。
- 2 確立平行 — 內錯角 ∠DEA=∠EAC 判定 DE ∥ AC。
- 3 求比例線段 — 利用平行線性質 FP:FA=FQ:FC 求 AP:AF。
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🔄 延伸學習：延伸學習：掌握相似三角形中面積比等於邊長平方比的觀念。
