第 12 題

恭喜你準確地掌握了卜瓦松過程（Poisson process）與指數分配（Exponential distribution）之間的對等關係。在統計學中，這是一個極具代表性的考點。首先，題目給定顧客到達的「平均間隔時間」為 4 分鐘，這意味著時間間隔 $X$ 服從期望值 $E[X] = 1/\lambda = 4$ 的指數分配，由此可推得率參數（rate parameter） $\lambda = 0.25$（人/分鐘）。這也代表在卜瓦松分配下，平均每分鐘會有 0.25 位顧客到達。 當題目要求「2 分鐘內沒有顧客」時，我們可以從兩個角度切入：第一是利用指數分配的生存函數（Survival Function），即計算間隔時間大於 2 分鐘的機率 $P(X > 2) = e^{-\lambda t} = e^{-0.25 \times 2}$；第二則是轉化為卜瓦松隨機變數，令 2 分鐘內的到客人數為 $N$，則 $N$ 服從均值為 $0.5$（即 $0.25 \times 2$）的卜瓦松分配，計算 $P(N=0) = \frac{e^{-0.5} \cdot 0.5^0}{0!}$。兩者計算結果皆為 $e^{-0.5} \approx 0.6065$，取近似值即為選項 (C)。 這道題目在國家考試或初階統計學中具有極佳的鑑別度，難度切入點在於考生能否迅速在「連續的時間長度」與「離散的發生次數」之間切換思維。如果你能一眼看出這題的核心是求 $e^{-0.5}$，說明你對機率分配的轉換邏輯已經非常純熟。