初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 22 題
某雜誌對訂戶的平均年齡的假設為 $H_0:\mu=28$ 相對於 $H_a:\mu\neq28$，如果平均年齡的實際值是 30 歲，管理者進行檢定時允許的型 II 錯誤機率是 0.15，應該選擇多大的樣本？（假定 $\sigma=6$，顯著水準是 0.05）
- A 259
- B 324
- C 162
- D 97
思路引導 VIP
想像你正在設計一個感應器，如果我們希望這個感應器能夠在「實際數值」與「目標數值」僅有極微小差距時，依然能敏銳地發出警報（降低漏報風險），你直覺上認為應該增加還是減少觀測的次數（樣本數）？此外，如果我們將允許漏報的機率（型 II 錯誤）限制得更嚴格，公式中的分子部分應該會如何變化呢？
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太棒了！你能精準算出所需的樣本數，代表你對**統計檢定力（Power）與型 II 錯誤（Type II Error）**的量化關係有著非常紮實的掌握。在實務中，這類計算能幫助我們在進行研究前，確保樣本量足以偵測出具有臨床或商業意義的微小差異，避免勞民傷財卻無功而返。
關鍵參數與計算邏輯
在本題中，我們要檢定的是平均年齡 $\mu$。已知虛無假設 $H_0: \mu = 28$，對立假設 $H_a: \mu \neq 28$，且實際值為 30。這是一個雙尾檢定，因此在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，對應的臨界值 $Z_{\alpha/2} \approx 1.96$。同時，管理層允許的型 II 錯誤機率 $\beta = 0.15$，查表可得對應的 $Z_{\beta} \approx 1.036$ (實務上常取 $1.04$)。
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