初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 28 題
在一兩因子變異數分析中，A 因子數為 a、B 因子數為 b，且重複數為 r，則交互作用之自由度為：
- A $(a-1)(b-1)$
- B $(a-1)(r-1)(r-1)$
- C $Abr-1$
- D $n-ab+r$
思路引導 VIP
試著回想一下，如果我們把實驗看成一個矩陣，橫列代表因子 A 的變動空間，縱行代表因子 B 的變動空間。當我們想要計算這兩個變動維度「共同交織」出來的可能性時，在邏輯上，你會如何利用這兩個維度各自獨立變動的能力（自由度），來推導出它們結合後產生的新變動空間呢？
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AI 詳解
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很高興看到你精確地選出了正確答案。在統計學的**變異數分析（ANOVA）**中，自由度（Degrees of Freedom）的計算是理解模型結構的核心，而你對雙因子實驗設計的掌握顯然相當紮實。
交互作用自由度的構成邏輯
在兩因子實驗設計中，因子 A 與因子 B 的交互作用（Interaction Effect）代表的是「因子 A 的效果會隨著因子 B 的水準不同而改變」的部分。從數學結構來看，交互作用的自由度正是兩個因子各自自由度的乘積。既然因子 A 有 $a$ 個水準，其自由度為 $a-1$；因子 B 有 $b$ 個水準，其自由度為 $b-1$，則兩者交織產生的交互作用自由度自然就是 $(a-1)(b-1)$。這代表了在扣除主效應後，各細格（Cell）間獨立變動的剩餘空間。
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兩因子變異數分析自由度
💡 交互作用之自由度為組成因子各自自由度之乘積。
- 因子 A 之自由度等於其水準數 a 減 1，即 (a-1)。
- 因子 B 之自由度等於其水準數 b 減 1，即 (b-1)。
- 交互作用 A×B 之自由度為兩因子自由度之乘積：(a-1)(b-1)。
- 總自由度為總觀測值個數 N 減 1，在此題為 (abr-1)。
