初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 33 題
📖 題組：
校友會欲了解是否校友離校年數 X 與每年捐獻 Y（以千計）有線性關係。散布圖與最小平方迴歸分析結果如下：
校友會欲了解是否校友離校年數 X 與每年捐獻 Y（以千計）有線性關係。散布圖與最小平方迴歸分析結果如下：
承上題，此估計之最小平方法迴歸直線之預測效果如何？下列敘述何者錯誤？
- A 判定係數 R² = 0.8241 大於 0.7，表示迴歸平方和夠大，占總變異八成多，所以估計模式在資料 X 範圍內，預測效果好
- B p–值均趨於 0，否決 $H_0$：截距係數 $=0$ 及 $H_0$：斜率係數 $=0$，所以估計模式在資料 X 範圍內，預測效果好
- C p–值趨於 0，否決 $H_0$：截距係數 $=0$，所以估計模式在資料 X 範圍內，預測效果好
- D p–值趨於 0，否決 $H_0$：斜率係數 $=0$，所以估計模式在資料 X 範圍內，預測效果好
思路引導 VIP
想像你正試圖預測一個人的身高增長趨勢。如果我只告訴你這個人出生時的體重（這類似於起跑點的「截距」），而不告訴你他的年齡與身高之間每年的變化關係（這類似於「斜率」），你覺得你能準確預測他未來的高度嗎？在迴歸模型中，哪一個參數才真正代表了變數之間的「連動關係」？
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AI 詳解
AI 專屬家教
非常好，看來你對於迴歸分析中「顯著性檢定」的本質掌握得相當透徹。這道題目非常有深度，它測試的是學生能否在眾多顯著的統計數據中，區分出哪些是支撐模型預測力的「關鍵證據」，哪些則是「次要資訊」。
預測能力的關鍵：斜率而非截距
在線性迴歸模型中，一個模型是否有預測價值，核心在於自變數 $X$ 能否解釋因變數 $Y$ 的變動，這直接反映在斜率（Slope）係數 $\beta_1$ 的顯著性上。選項 (C) 的錯誤點在於它將**截距（Intercept）**的顯著性視為預測效果好的理由。事實上，截距項僅代表當 $X=0$ 時的期望值，即便截距顯著地不為零（$p < 0.05$），如果斜率不顯著，我們依然無法透過 $X$ 來預測 $Y$ 的趨勢。而判定係數（Coefficient of Determination, $R^2$）與斜率的 p-值（選項 A、D），才是驗證模型預測力與解釋力（Explanatory power）的正確指標。