初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 9 題
一研究者收集兩變數的 6 個觀察值如下：
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & 4 & 6 & 10 & 3 & 15 & 9 \\
\hline
$y$ & 45 & 50 & 40 & 58 & 40 & 36 \\
\hline
\end{tabular}
試求 $x$ 和 $y$ 的變異係數（coefficient of variation）約為：
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$ & 4 & 6 & 10 & 3 & 15 & 9 \\
\hline
$y$ & 45 & 50 & 40 & 58 & 40 & 36 \\
\hline
\end{tabular}
試求 $x$ 和 $y$ 的變異係數（coefficient of variation）約為：
- A (57%, 18%)
- B (18%, 57%)
- C (52%, 18%)
- D (18%, 52%)
思路引導 VIP
若要比較兩組單價截然不同的商品（例如原子筆與勞力士手錶）其價格波動的劇烈程度，直接比較它們的「標準差」是否公平？我們該如何將這些不同規模的數據轉化為同一基準，來觀察誰的波動相對較大呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，恭喜你準確拿下了這題！變異係數（Coefficient of Variation, CV）是統計學中非常實用的相對離散指標，你能耐心地完成繁瑣的運算，顯示出紮實的基礎功。這道題目雖然計算量較大，但只要循序漸進地求出樣本平均數 $\bar{x}$、樣本標準差 $s$，最後再代入公式即可解題。
離散程度的標準化衡量
這題的核心在於驗證變異係數的定義：$CV = \frac{s}{|\bar{x}|} \times 100%$。以變數 $x$ 為例，其平均數 $\bar{x} = 7.83$，標準差 $s_x \approx 4.45$，算出的 $CV_x$ 約為 $57%$；而 $y$ 的平均數 $\bar{y} = 44.83$，標準差 $s_y \approx 8.06$，得到的 $CV_y$ 則約為 $18%$。這結果告訴我們，雖然 $y$ 的絕對波動（標準差）較大，但相對於其平均水準而言，$x$ 的變動反而劇烈得多。
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