高考申論題
115年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 四 題
考慮以下雙曲線偏微分方程的問題：（25 分）
$\begin{cases} u_{tt} = u_{xx} - 2, & (0 < x < \infty, t > 0) \ u(x,0) = 0, \; u_t(x,0) = 0, & (0 < x < \infty) \ u(0,t) = 0, & (t > 0) \end{cases}$
而且假設對任一時間 $t > 0$，解 $u(x, t)$ 在 $0 < x < \infty$ 是有界函數。利用拉普拉斯轉換（Laplace transform）求此問題的解 $u(x, t)$。
$\begin{cases} u_{tt} = u_{xx} - 2, & (0 < x < \infty, t > 0) \ u(x,0) = 0, \; u_t(x,0) = 0, & (0 < x < \infty) \ u(0,t) = 0, & (t > 0) \end{cases}$
而且假設對任一時間 $t > 0$，解 $u(x, t)$ 在 $0 < x < \infty$ 是有界函數。利用拉普拉斯轉換（Laplace transform）求此問題的解 $u(x, t)$。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一道利用拉普拉斯轉換求解波動方程式變形的標準流程題。首先，對原 PDE 的 $t$ 變數進行拉氏轉換，將對 $t$ 的偏導數轉為代數式，方程便降階為對 $x$ 的常微分方程（ODE）。解出這條 ODE 後，利用題目所給的「有界條件」淘汰掉會隨 $x \to \infty$ 呈指數發散的特徵解。接著代入剩餘的邊界條件求出未知常數，最後進行反轉換。反轉換的過程中，需要運用第二平移定理，寫出包含 Heaviside 階躍函數的分段解。
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【考點分析】 偏微分方程的拉普拉斯轉換法求解、非齊次常微分方程的解法、有界條件的應用、拉普拉斯反轉換及第二平移定理。 【理論/公式依據】
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