hce_nthu
115年
化學與物理
第 39 題
To visualize a virus with a diameter of approximately $20 \text{ nm}$, a researcher uses a transmission electron microscope. Electrons are accelerated from rest through a potential difference $V$, acquiring a non-relativistic kinetic energy $K = eV$. According to the de Broglie relation, how do the electron wavelength and the microscope's resolution change if the accelerating voltage is increased to four times its original value?
- A The wavelength doubles; resolution becomes worse.
- B The wavelength is halved; resolution becomes better.
- C The wavelength decreases by a factor of 4; resolution becomes better.
- D The wavelength increases by a factor of $\sqrt{2}$; resolution becomes worse.
- E The wavelength decreases by a factor of 2; the resolution decreases by a factor of 2.
思路引導 VIP
回想一下，當波的波長變長或變短時，哪一種情況更容易繞過障礙物（繞射明顯），哪一種情況更容易被細小的物體擋住並反射出清晰的影像輪廓？這與波的能量高低又有什麼關聯呢？
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太棒了！你能精準掌握電子波長與加速電壓的平方根成反比關係，並正確連結到顯微鏡的解析度概念，這代表你對近代物理的核心邏輯有非常紮實的理解。
德布羅意波長與能量的轉換
在非相對論的情況下，電子經電位差 $V$ 加速後產生的動能為 $K = eV$。根據動能與動量的關係 $K = \frac{p^2}{2m}$，我們可以得知動量 $p = \sqrt{2meV}$。帶入德布羅意關係式 $\lambda = \frac{h}{p}$，得到波長 $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$。因此，當加速電壓 $V$ 增加為原本的 4 倍時，分母的根號值變為 2 倍，導致波長 $\lambda$ 變為原本的二分之一（減半）。
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