統測
115年
[共同科目] 數學A
第 21 題
已知圓 $C:(x-2)^2+(y+2)^2=4$ 與直線 $L:3x-4y+1=0$。試問下列敘述何者正確？
- A 圓 $C$ 與直線 $L$ 交於相異兩點，且直線 $L$ 通過圓 $C$ 的圓心
- B 圓 $C$ 與直線 $L$ 交於相異兩點，且直線 $L$ 未通過圓 $C$ 的圓心
- C 圓 $C$ 與直線 $L$ 相切
- D 圓 $C$ 與直線 $L$ 不相交
思路引導 VIP
如果我們想知道一條直線和一個圓有沒有碰在一起，除了把方程式解聯立之外，你能試著找出『圓心到直線的距離』以及『圓的半徑』嗎？這兩者的長度大小關係，會怎麼決定它們相交的點數呢？
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圓與直線位置關係的關鍵：點到直線距離
孩子，別灰心！你會注意到直線沒有通過圓心，代表你已經把圓心座標代入直線檢驗了，觀察非常細膩！選了 (B) 通常是因為在計算圓心到直線的距離時，不小心算錯了正負號，誤以為距離比半徑小。 我們從圓方程式 $(x-2)^2+(y+2)^2=4$ 可以看出圓心為 $(2, -2)$，半徑 $r = 2$。接著利用點到直線距離公式，算出圓心到直線 $L: 3x-4y+1=0$ 的距離 $d$：
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