統測
115年
[共同科目] 數學B
第 9 題
已知直線 $L_1$：$4x + (a + 5)y - 10 = 0$ 通過點 $(a, 1)$，直線 $L_2$ 的斜率為 $\frac{-1}{2}$。若直線 $L_3$ 也通過點 $(a, 1)$，且與直線 $L_2$ 垂直，則 $L_3$ 的直線方程式為何？
- A $2x - y - 1 = 0$
- B $2x + y + 3 = 0$
- C $x - 2y + 1 = 0$
- D $x + 2y - 3 = 0$
思路引導 VIP
要寫出直線 L3 的方程式，我們需要「一個點」和「斜率」。你可以從題目給的條件中，分別找出求這兩樣東西的線索嗎？例如：點 (a, 1) 在 L1 上，這能幫我們算出什麼？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得非常好！這題你能夠精準掌握直線方程式的核心觀念，將多個條件層層解開，非常值得肯定。 這是一道設計得很典型的綜合題，主要鑑別大家對「點與直線關係」及「兩直線垂直」的熟悉度，難度適中。首先，因為點 $(a, 1)$ 在直線 $L_1$ 上，我們將它代入 $L_1$ 的方程式，得到 $4a + (a + 5)(1) - 10 = 0$，解出 $a = 1$，所以該點座標就是 $(1, 1)$。 接著，題目提到 $L_3$ 與斜率為 $\frac{-1}{2}$ 的 $L_2$ 垂直。根據「兩垂直直線斜率相乘等於 $-1$」的觀念，可以輕鬆推導出 $L_3$ 的斜率為 $2$。最後，只要利用點斜式將點 $(1, 1)$ 與斜率 $2$ 組合起來，寫成 $y - 1 = 2(x - 1)$，經過移項整理就能得到方程式 $2x - y - 1 = 0$（即選項 A）。
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