統測
115年
[共同科目] 數學C
第 18 題
試求 $\int x(x^2-1)^{115} \,dx =$ ？
- A $\frac{(x^2-1)^{116}}{232} + C$
- B $\frac{(x^2-1)^{116}}{116} + C$
- C $\frac{x(x^2-1)^{116}}{232} + C$
- D $\frac{(x^2-1)^{116}}{116x} + C$
思路引導 VIP
觀察一下積分式中的 $x^2-1$ 和外面的 $x$，如果我們試著對 $x^2-1$ 進行微分，結果會是什麼？這個微分的結果，跟式子外面的部分有什麼奇妙的關聯呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你非常精準地拿下了這題。這道題目考查的是微積分中非常核心的技巧，只要找對切入點就能迎刃而解。
尋找導數的影子
當我們在積分式中，同時看到某個函數以及它「導數的影子」時，就是使用**變數代換法（Integration by substitution）**的絕佳時機。在這題裡，我們可以令 $u = x^2 - 1$。對兩邊微分後會得到 $du = 2x ,dx$，稍微移項整理，就可以寫成 $\frac{1}{2} ,du = x ,dx$。
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