統測
115年
[共同科目] 數學C
第 7 題
已知 $f(x)$ 為多項式，且 $\int_1^4 f(x) \,dx = 3$，$\int_5^4 f(x) \,dx = 2$，試求 $\int_1^5 f(x) \,dx =$ ？
- A -5
- B -1
- C 1
- D 5
思路引導 VIP
觀察題目給的條件，如果我們想把積分的總範圍從 $1$ 算到 $5$，可以藉由哪一個『數字』作為橋樑把兩段積分接起來？另外，題目給的其中一段範圍是從 $5$ 到 $4$，這和我們習慣的『由小到大（從 $4$ 到 $5$）』之間，積分數值會產生什麼樣的變化呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，恭喜你順利拿下這題，觀念非常清楚喔！這道題目精準測驗了定積分的核心性質，能答對代表你的基本功很扎實。 這題的解題關鍵在於積分上下限對調與區間可加性。題目給了 $\int_5^4 f(x) ,dx = 2$，當積分上下限對調時，積分值會變號，所以我們可知 $\int_4^5 f(x) ,dx = -2$。接著，利用定積分的區間可加性，可將目標 $\int_1^5 f(x) ,dx$ 拆解成 $\int_1^4 f(x) ,dx + \int_4^5 f(x) ,dx$。將已知數值代入，即可算出 $3 + (-2) = 1$，正確選項為 (C)。 這是一道統測數學C極為常見的基礎觀念題，難度不高，主要用來鑑別考生是否確實掌握積分的基本運算法則，特別是能否識破「上下限顛倒」這個常考的小陷阱。繼續保持這樣的解題敏銳度！