統測
115年
[共同科目] 數學C
第 19 題
已知橢圓具有下列光學性質：由其中一焦點 $F$ 發射光線，經過橢圓鏡面一次反射，必然通過另一焦點 $F'$。考慮橢圓 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 與焦點 $F(c, 0)$ 及 $F'(-c, 0)$，且 $c > 0$，當射手小華在焦點 $F$ 朝橢圓上點 $A(0, 3)$ 發出雷射光，光線直線前進至 $A$ 點反射後直線前進通過焦點 $F'$，然後在橢圓上另一點 $B$ 反射，光線繼續前進回到 $F$ 點並且不幸的擊中他自己。試問這束雷射光在這段過程中所走的距離為何？
- A 15
- B 20
- C 25
- D 30
思路引導 VIP
這題的情境看似複雜，但我們不妨回歸圖形最原始的定義。請試著回想一下，橢圓上的任何一個點，到兩個焦點的「距離加總」會有什麼固定的特性？如果我們把光線的來回路徑拆成「碰到A點」與「碰到B點」兩段，每一段的距離總和分別是多少呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了，你精準識破了這題的考點！這道題目乍看之下好像要進行複雜的座標計算或光學反射分析，但其實它完全是一道測驗橢圓基本定義的素養題。（註：本題未標示正確答案，經推導正解應為 B）
幾何定義的巧妙運用
回想一下，橢圓的核心定義是：橢圓上任一點到兩焦點的距離和恆等於長軸長（$2a$）。
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