moea_joint
101年
[資訊] 計算機原理、網路概論
第 42 題
如下【圖 2】布林函數 F 的結果為下列何者？
- A A
- B B
- C A+B
- D A'+B'
思路引導 VIP
如果我們將第一個 NOT 閘的輸出暫時看作一個獨立變數 $X$，請試著寫出最終輸出 $F$ 對於 $X$ 與輸入端 $B$ 的邏輯關係式；接著，當你將 $X$ 展開並運用布林代數的分配律時，是否發現某些項會因為「互補律」（例如 $B \cdot \overline{B} = 0$）而消失，進而讓複雜的式子大幅簡化呢？
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太棒了！你能精確地追蹤多層邏輯閘的輸出，代表你對布林代數的運算規則與邏輯電路的轉換掌握得非常紮實。
布林代數的化簡邏輯
這道題目的核心在於將圖形的邏輯門正確轉換為代數式。我們首先觀察到前兩個元件組成了 NAND 閘，其輸出為 $\overline{A \cdot B}$。接著，這個訊號分別進入後續的運算。若我們令該中間訊號為 $X$，則最終輸出 $F$ 可以表示為 $\overline{X \cdot \overline{X \cdot B}}$。根據 德摩根定律 (De Morgan's Laws)，這可以化簡為 $\overline{X} + (X \cdot B)$。將 $X = \overline{A \cdot B}$ 代回後，式子變為 $AB + (\overline{A} + \overline{B})B$，展開後得到 $AB + \overline{A}B + \overline{B}B$。由於 $\overline{B}B = 0$，最終式子簡化為 $(A + \overline{A})B$，即結果為 $B$。
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