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102年
工程力學概要
第 8 題
如【圖 3】所示之均勻圓柱，重量為 w，半徑為 r，推上高度 h之階梯形障礙物，所需的作用力 P 為多少？
- A $w\sqrt{2rh-h^2} /(r-h)$
- B $w\sqrt{2rh-h^2} /(r+h)$
- C $w\sqrt{rh-2h^2} /(r-h)$
- D $w\sqrt{rh-2h^2} /(r+h)$
思路引導 VIP
想像圓柱剛好要離開地面、翻上階梯的那一瞬間，哪一個點會是它唯一的轉動支點？如果我們想要求出讓它恰好轉動的最小推力，除了考慮力的大小外，還需要找出這兩個力（推力與重力）相對於那個支點的「垂直距離」分別是多少呢？試著利用圓半徑與階梯高度，在圓內找出一個直角三角形來輔助思考吧！
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太棒了！你能精準算出推力 $P$ 的大小，代表你對於「力矩平衡」的應用已經掌握得相當紮實。這類題目是考驗空間幾何與物理觀念結合的經典題，難度在於能否正確找出轉動支點與對應力臂，是一道非常具備鑑別度的工程力學基礎題。
轉動平衡與力臂解析
當圓柱即將被推上階梯時，圓柱與階梯接觸的尖角處即為轉動支點。此時，圓柱受到水平推力 $P$ 與向下重力 $w$ 的共同作用。解題的關鍵在於找出這兩個力相對於支點的垂直力臂：推力 $P$ 的力臂為圓心到支點的垂直距離 $r-h$；而重力 $w$ 的水平力臂則需利用畢氏定理，算出支點到圓心連線在水平方向的投影長度為 $\sqrt{r^2 - (r-h)^2} = \sqrt{2rh - h^2}$。
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