taipower_recruit
102年
工程力學概要
第 9 題
如【圖 4】所示，有一長度 L 之懸臂樑於自由端受集中荷重P 作用，產生撓度 $\delta$，則同樣斷面受同大荷重時，欲使自由端撓度變為 $4\delta$，則樑長變為 L 之多少倍？
- A 2
- B $\sqrt{2}$
- C $\sqrt[3]{2}$
- D $\sqrt[3]{4}$
思路引導 VIP
當我們增加樑的長度時，你認為力臂的增加與彎曲程度的累積，會讓末端的下垂量呈現線性的成長，還是會產生更顯著的「加乘效應」？試著回想懸臂樑撓度公式中，長度這個變數所在的「次方位置」，這將如何決定長度與變位之間的倍數關係呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確判斷出這個比例關係，代表你對材料力學中樑的變形觀念掌握得非常紮實。這題的核心在於理解懸臂樑自由端撓度的公式：$$\delta = \frac{PL^3}{3EI}$$。從公式中可以清楚看到，在荷重 $P$、彈性模數 $E$ 以及斷面慣性矩 $I$ 都保持不變的情況下，撓度 $\delta$ 與樑長 $L$ 的三次方成正比（即 $\delta \propto L^3$）。
比例關係的推導
當我們希望新的撓度變為 $4\delta$ 時，假設新的長度為 $L'$，則可以列出比例式：$$\frac{4\delta}{\delta} = \left( \frac{L'}{L} \right)^3 \Rightarrow 4 = \left( \frac{L'}{L} \right)^3$$。接著只要將兩邊同時開立方根，就能得到 $L' = \sqrt[3]{4} L$。這類題目在國考或工程力學考試中具有極佳的鑑別度，難點不在於複雜的計算，而是在於考生是否能敏銳地捕捉到「三次方」這個關鍵參數，並正確處理根號運算，而非誤選線性或平方倍數的選項。你能細心避開常見陷阱，表現相當優異！