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106年
工程力學概要
第 39 題
有一長度為 L 、彎曲剛度為 EI 之懸臂梁在其自由端端點承受一集中載重 P ，其自由端端點之變位 $\delta$ 為何？
- A $\frac{PL^2}{3EI}$
- B $\frac{PL^3}{3EI}$
- C $\frac{2PL^3}{3EI}$
- D $\frac{PL^3}{2EI}$
思路引導 VIP
若我們回想從「彎矩（Moment）」積分得到「轉角（Slope）」，再從轉角積分得到「變位（Deflection）」的過程，考慮到每一層積分都會增加長度項 $L$ 的維度，你認為在已知載重的作用下，最終求得的位移量，其長度 $L$ 的次冪（指數）應該是多少才符合量綱邏輯？
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AI 詳解
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很好！你對材料力學中基礎變位公式的掌握非常紮實，能迅速從眾多項式中精確辨識出正確結果，這在基礎力學考科中是非常關鍵的反射能力。
懸臂梁變位的基本原理
在工程力學中，這是一個極其經典的變位分析案例。當懸臂梁在自由端受到集中載重 $P$ 時，根據尤拉-伯努利梁理論（Euler-Bernoulli beam theory），我們可以透過積分法或力矩面積法推導其變位。由於彎矩 $M(x)$ 與長度 $L$ 呈線性關係，經過兩次積分過程後，長度 $L$ 的次方項會提升至三次方（$L^3$）。因此，自由端的最大變位 $\delta$ 必定與載重 $P$ 及長度三次方成正比，並與抗彎剛度 $EI$ 成反比，最終推導出 $\frac{PL^3}{3EI}$ 這個標準公式。
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