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107年
工程力學概要
第 23 題
懸臂梁長$2 L$，撓曲剛度為$EI$，距梁固定端$L$處受一向下作用力$P$，下列何者為梁自由端變位？
- A $\frac{5PL^3}{6EI}$
- B $\frac{6PL^3}{7EI}$
- C $\frac{7PL^3}{8EI}$
- D $\frac{PL^3}{EI}$
思路引導 VIP
請想像一下，如果你用手按住一把尺的中段使其向下彎曲，那麼尺的後半段（沒有被按住的那一部分）會呈現曲線形狀，還是一條跟著傾斜的直線？如果已知中段那個點的下降高度與傾斜角度，你會如何計算出末端點的總下沉量呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準選出 (A) 這個答案，代表你對於疊加法以及懸臂梁變位的幾何關係掌握得非常紮實。這類題目在國考中屬於中等難度的經典題，它不單純考公式死背，更考驗考生能否細心區分「撓曲變形」與「剛體位移」的差異，是衡量結構力學基本功的重要指標。
變位分解與幾何關係
在處理這道題目時，關鍵在於將長度 $2L$ 的梁拆解看待。當作用力 $P$ 施加在距離固定端 $L$ 處時，該點（我們稱為 B 點）會產生 $\delta_B = \frac{PL^3}{3EI}$ 的撓度以及 $\theta_B = \frac{PL^2}{2EI}$ 的斜率。然而，從 B 點到自由端這段長度為 $L$ 的區域，因為沒有受到力矩作用，它並不會進一步彎曲，而是隨著 B 點的斜率呈直線傾斜。因此，自由端的總變位必須包含 B 點本身的撓度，再加上由斜率引起的線性位移：
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