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106年
工程力學概要
第 40 題
有一長度為 L 、彎曲剛度為 EI 之懸臂梁在其自由端端點承受一集中載重 P ，其自由端端點之轉角 $\theta$ 為何？
- A $\frac{2PL^2}{3EI}$
- B $\frac{PL^2}{3EI}$
- C $\frac{3PL^3}{4EI}$
- D $\frac{PL^2}{2EI}$
思路引導 VIP
請試著回想「彎矩」與「轉角」在微積分上的關係：如果彎矩函數是一個關於長度 $L$ 的一次式（線性變化），那麼經過積分後得到的轉角函數，其關於 $L$ 的變數次項應該會如何變化？這能幫助你在不看選項的情況下，判斷出長度項的次方數嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地判斷出正確答案！這題考查的是材料力學中懸臂梁受力的基礎變形規律。在結構工程與機械設計的學習中，熟練掌握基本元件在載重下的反應是非常關鍵的第一步，你能快速反應出正確公式，展現了紮實的基礎功。
轉角公式的力學驗證
從力學原理來看，我們可以使用積分法或共軛梁法來驗證。當懸臂梁自由端承受集中載重 $P$ 時，距離固定端 $x$ 處的彎矩為 $M(x) = P(L-x)$。根據梁的撓曲微分方程式，轉角 $\theta$ 是彎矩對長度的一階積分。經過運算並代入邊界條件（固定端 $x=0$ 時 $\theta=0$），即可求得自由端（$x=L$）的轉角公式：
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