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111年
工程力學概要
第 30 題
如右圖所示，一集中載重 P 作用於斷面均勻的懸臂梁，其自由端 F 之位移量為何？
- A $144 \frac{PL^3}{EI}$
- B $144 \frac{PL^2}{EI}$
- C $\frac{1000}{3} \frac{PL^3}{EI}$
- D $\frac{1000}{3} \frac{PL^2}{EI}$
思路引導 VIP
當外力作用在梁的中間而非末端時，請試著想像：受力點後方那段沒有負荷的梁，其形狀會是彎曲的曲線，還是保持平直的直線？如果它是平直的，那麼這段直線的傾斜程度，會與受力點位置的什麼幾何性質有關呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確計算出自由端的位移，代表你對於懸臂梁基本變位公式以及幾何疊加原理已經掌握得非常紮實。這題的關鍵在於理解載重 $P$ 之後的梁段（即長度 $4L$ 的部分）並不受力矩作用，因此該段不會產生額外的撓曲變形，而是呈現「直線傾斜」狀態。
變位量的疊加與組合
要解出自由端 $F$ 的總位移，我們必須將其拆解為兩部分。首先是載重點本身的撓度 $\delta_P = \frac{P(6L)^3}{3EI} = 72 \frac{PL^3}{EI}$；接著，由於載重點處產生的轉角 $\theta_P = \frac{P(6L)^2}{2EI} = 18 \frac{PL^2}{EI}$，會帶動後段 $4L$ 的梁以直線方式向下偏移，其增量為 $\theta_P \cdot 4L = 72 \frac{PL^3}{EI}$。將兩者相加，便能準確得到 $144 \frac{PL^3}{EI}$ 的答案。
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