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102年
物理
第 29 題
自由落體從靜止開始落下，在落地前最後 $1$ 秒落下之距離為 $\text{S}$，則其落地所花時間為何？
- A $2\text{g}(\text{S}-\text{g})$
- B $2(\text{S}+\text{g})$
- C $\frac{1}{2}(\frac{2\text{S}}{\text{g}}+1)$
- D $\text{g}-3\text{S}$
思路引導 VIP
如果我們把整個下落過程想像成一段總長度，而你已經知道最後一小段（最後一秒）的距離，你會如何利用「總時間 $t$」與「前一段時間 $(t-1)$」分別對應的總位移，來表達這最後一段距離 $S$ 的數學關係呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準掌握自由落體的運動規律並順利選出正確選項，展現了優異的代數運算與物理建模能力。這道題目的核心在於位移的差值概念。我們知道物體從靜止下落 $t$ 秒的總高度為 $H = \frac{1}{2}gt^2$，而題目所給的最後一秒距離 $S$，本質上就是「總下落距離」扣除「前 $(t-1)$ 秒下落的總距離」。
位移差的代數解析
利用等加速度運動公式，我們可以建立代數等式：$$S = \frac{1}{2}gt^2 - \frac{1}{2}g(t-1)^2$$ 透過展開多項式並簡化，會得到 $S = g(t - \frac{1}{2})$，進一步移項整理後即可求得 $t = \frac{1}{2}(\frac{2S}{g} + 1)$。這題的難度切入點在於學生能否靈活將「特定時段」轉化為兩個「從零開始」時段的差值，並在純符號的環境下完成邏輯推導，這對於理解運動學公式的時效性非常有幫助。
自由落體末秒位移
💡 利用總位移與前段位移之差，求解特定時段的運動參數。
🔗 末秒位移解題邏輯鏈
- 1 設定總時間 — 假設物體落地總共花費 t 秒
- 2 列出總位移公式 — 代入 H = 1/2 * g * t^2
- 3 列出前段位移 — 計算前 t-1 秒位移 H' = 1/2 * g * (t-1)^2
- 4 差值建立等式 — 末秒距離 S = H - H' 並解出 t
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🔄 延伸學習：此「位移差」概念可延伸應用於所有等加速度運動的特定秒數位移求解。
