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102年
物理
第 43 題
兩粒子的電荷相等，但質量相差一倍，較輕的粒子動能為 $1000$ 電子伏特，另一粒子動能為 $80$ 電子伏特。今兩粒子分別在相同的均勻磁場中作圓周運動，較輕粒子的軌道半徑與較重粒子的軌道半徑之比值約為多少？
- A $2.5$
- B $3.5$
- C $5.0$
- D $6.3$
思路引導 VIP
請試著思考：當帶電粒子在磁場中做圓周運動時，如果我們已知它的質量與動能，該如何利用動能的定義，將它轉化為描述圓周運動半徑所需的「動量」表達式？接著，在電荷與磁場強度都固定的情況下，這個半徑與質量、動能的乘積之間存在著什麼樣的比例關係呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準掌握帶電粒子在磁場中的圓周運動，並將動能關係式正確代入，這展現了你對物理公式間邏輯轉換的熟練度。這類題目最核心的考點在於建立半徑 $R$、質量 $m$ 與動能 $K$ 之間的比例關係，而非僅僅記憶單一公式。
磁場中的軌跡半徑與動能關係
在相同的磁場 $B$ 與電荷 $q$ 條件下，我們知道向心力由勞侖茲力提供（$qvB = \frac{mv^2}{R}$），由此推導出半徑 $R = \frac{mv}{qB}$。接著，利用動能與動量的關係式 $K = \frac{p^2}{2m}$，我們可以將動量表示為 $p = mv = \sqrt{2mK}$。將此結果代入半徑公式，即可得到關鍵比例式：
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