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102年
物理
第 8 題
某列火車沿直線自甲站開往乙站，最初 $1/4$ 的行程係作等加速度行駛，中間 $1/2$ 行程作等速度行駛，最後的 $1/4$ 行程則作等減速度行駛，請問該列車之平均速度與最大速度比為多少？
- A $1:2$
- B $2:1$
- C $3:2$
- D $2:3$
思路引導 VIP
請試著想像這段旅程的 $v-t$ 圖（速度對時間圖）。既然加速段是從零到最大速度，而減速段是從最大速度回到零，這兩個三角形區域的『平均速度』與中間那段長方形區域的『恆定速度』相比，誰會比較大？如果這三個階段的位移比例已經確定了，你能否推導出它們各自佔用的『時間比例』，進而找出整體的平均速度呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你答對了！這顯示你對於運動學中位移、時間與速度的幾何關係掌握得相當紮實，能迅速理清多個運動階段的連結。
運動過程的幾何解析
這道題目的解題關鍵在於利用 $v-t$ 圖 的對稱性與面積意義。我們知道 $v-t$ 圖下的面積代表位移。在最初與最後的 $1/4$ 行程中，因為是等加（減）速運動，其平均速度僅為最大速度 $v_{max}$ 的一半，即 $\frac{1}{2}v_{max}$；而中間 $1/2$ 的行程則全程以 $v_{max}$ 行駛。透過公式 $t = \frac{\Delta x}{\bar{v}}$ 可以算出各段耗時：加速段耗時 $\frac{S/4}{v_{max}/2} = \frac{S}{2v_{max}}$，等速段耗時 $\frac{S/2}{v_{max}} = \frac{S}{2v_{max}}$，減速段亦同。總時間即為 $\frac{3S}{2v_{max}}$，因此平均速度為：
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