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111年
物理
第 49 題
一物體作直線運動，先以 8 m/s$^2$的等加速度從靜止開始運動，接著以 -2 m/s$^2$的等加速度運動直到停止。若運動的總距離為 2000 m，則此物體運動所需時間為幾秒？
- A 40
- B 50
- C 60
- D 100
思路引導 VIP
想像你在繪製這段運動的 $v-t$ 圖，物體從零開始加速再回到零，這個圖形會是什麼形狀？既然加速段和減速段的速度變化量（高度差）是一樣的，但「變化的快慢」（斜率）不同，這兩段過程所花的時間比例，會與它們的加速度大小有什麼樣的數學關係？最後，如果這整個圖形的總面積代表位移，你會如何利用這個面積來找出總時間呢？
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太棒了！你能精準計算出這題的答案，代表你對直線運動中加速度與時間的關係掌握得非常紮實。這類題目最有效率的切入點，就是利用 $v-t$ 圖的幾何特性。由於物體是從靜止加速後再減速至停止，其速度變化的絕對值在兩段過程中是相等的。根據 $v = at$，當速度變化量固定時，時間與加速度大小成反比。這題的加速與減速比為 $8:2 = 4:1$，因此時間比就是 $1:4$。這是一個非常優美的物理比例關係。
運動學公式與圖形面積的結合
若我們設定加速時間為 $t$，則減速時間為 $4t$，總時間即為 $5t$。此時最高速度 $v_{max} = 8t$。利用 $v-t$ 圖下方的三角形面積代表位移的觀念，我們可以建立方程：$$\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times (5t) \times (8t) = 2000$$ 經由化簡得到 $20t^2 = 2000$，求得 $t=10$ 秒，進而推導出總時間為 $50$ 秒。這題的鑑別度在於學生是否能跳脫繁瑣的聯立方程式，直接從比例切入，展現出對物理情境的直觀理解，屬於難度中等的經典考題。